O ângulo é uma região do plano composta pela abertura de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é medida em graus, a que damos o nome de amplitude.
Num polígono qualquer, como os que podes ver mais abaixo, podemos ter dois tipos de ângulo, os internos a verde e os externos a vermelho.
Clica aqui no link
Podes ainda ter ângulos convexos (se têm mais de 180º) e côncavos( se têm menos de 180º).
Tipos de ângulos
De acordo com a amplitude de cada ângulo podemos classificá-lo como:
- Ângulo agudo- Ângulo cuja amplitude é maior do que 0° e menor do que 90°.
- Ângulo reto- tem uma amplitude de 90º.
- Ângulo obtuso- tem amplitude compreendida entre 90º e 180º.
- Ângulo raso- tem de amplitude 180º.
- Ângulo giro- tem de amplitude 360º.
Medir um ângulo com a ajuda de um transferidor
Um transferidor
Clica no próximo site para descobrires a amplitude de uma ângulo.
Relações entre ângulos
- 2 ângulos são geometricamente iguais se tiverem a mesma amplitude.
- 2 ângulos são adjacentes se têm um lado comum.
- Dois ângulos são suplementares quando a respetiva soma for igual a um ângulo raso.
Ex.: ∢AVB e ∢DVC são verticalmente opostos.
Dois ângulos verticalmente opostos têm a mesma amplitude: a = b
Duas retas concorrentes, que se cruzam num ponto comum, formam dois pares de ângulos verticalmente opostos: a = b e c = d.
- Num sistema de duas retas paralelas cortadas por uma terceira, chamada secante, chamam-se ângulos alternos-externos aos pares a, c e b, d assinalados na figura.
Os ângulos alternos-externos são geometricamente iguais, por isso têm a mesma amplitude; a amplitude de a é igual à de c, o mesmo sucedendo entre b e d.
- Num sistema de duas retas paralelas cortadas por uma terceira chamam-se ângulos alternos-internos aos pares e, g e f, h assinalados na figura.
Os ângulos alternos-internos são geometricamente iguais, por isso têm a mesma amplitude; a amplitude de e é igual à de g, o mesmo sucedendo entre f e h.
Por isso, concluímos que os Ângulos alternos externos são geometricamente iguais e os os Ângulos alternos internos também são geometricamente iguais.
- A soma das amplitudes dos ângulos externos de um qualquer triângulo é 360º.
Applet em geogebra ( clica no link)
- 2 ângulos têm lados diretamente paralelos logo são considerados congruentes ou suplementares.
- 2 ângulos têm lados diretamente perpendiculares logo são considerados congruentes ou suplementares.
No próximo link podes encontrar um applet onde podes observar muitas das relações de que falámos.
http://egeom.blogspot.pt/p/geometria-plana-applet.html
- Para construir um ângulo igual à soma de dois ângulos dados segue os seguintes passos:
1- Traçar arcos de circunferência, no dois ângulos, com a mesma abertura.
2- Traça um dos lados do ângulo, por exemplo GH.
3- Colocar em H o compasso coma abertura igual ao comprimento de BC e traça um arco de circunferência. Encontras um ponto de interseção , ponto I.
4- Coloca em I o compasso com abertura igual ao comprimento de EF e traça um arco de circunferência. Encontras o ponto J.
5- O ângulo HGJ é a soma dos dois anteriores.
- Conversão de medidas de amplitude. O grau divide-se em duas subunidades, o minuto e o segundo.
ex. 5º46' - quantos minutos?
1º = 60' logo 5º = 5 x 60' = 300'
300' + 46' = 346'
R: 346 minutos do grau
ex. 23716'' - quantos graus, minutos e segundos?
23716'' : 60'' = 395' resto 16''
Como 60'' = 1' , vamos ver quantos minutos tem 23716 segundos.
São 395 minutos e 16 segundos
395' : 60' = 6º resto 35'
Como 60' = 1' , vamos ver agora quantos graus têm 395 minutos.
R: São 6º35'16''
. Adição de medidas de amplitudes de ângulos
ex. 16º18'32'' + 7º55'30'' = 23º73'62'' mas como o minuto e o segundo só podem atingir os 60, temos de reduzir 73' em graus e minutos e o 62'' em minutos e segundos.
73' = 1º13' e 62''=1'2''
R: 24º14'2''
. Subtração de medidas de amplitudes de ângulos
ex. 28º3'24'' - 8º15'30''
Não podemos subtrair o subtrativo pois os minutos e os segundos são superiores aos do aditivo. Assim temos que transformar o primeiro para aumentar o valor dos minutos e segundos.
Tiramos ao 28º um grau e fica 27º.
Adicionamos 60 minutos que equivale ao grau que tirámos.
Já temos 27º63'24''.
Agora para alterar os segundos tiramos um minuto e passámo-lo para segundos, ou seja, adicionar 60 segundos.
Fica 27º62'84''
Agora já podemos fazer a subtração.
R: 19º47'54''
Como construir a bissetriz de um ângulo?
A bissetriz do ângulo é uma semirreta contida no ângulo, de origem no vértice e que forma com cada um dos lados ângulos iguais. Vê o próximo vídeo para aprenderes a construir a bissetriz.
