Ajuda alunos: Reflexão, rotação e translação

domingo, 23 de outubro de 2011

Reflexão, rotação e translação

Aqui está um tema que já era trabalhado antes mas só referido de forma simples.
Agora estudamos figuras que sofrem este tipo de transformações que tudo têm a ver com as simetrias.

A este tipo de transformações geométricas dá-se o nome de Isometrias.

Vê a seguinte apresentação sobre o tema. http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/01/isometrias-reflexao-rotacao-e.html

As Isometrias são transformações geométricas que preservam as distâncias entre pontos e as amplitudes dos ângulos, transformando as figuras originais noutras figuras congruentes (geometricamente iguais)

Exemplos:

Existem quatro tipo de Isometrias:
- Reflexões
- Translações
- Rotações
- Reflexão deslizante

Irás falar em dois tipos de reflexão:
- Reflexão Axial;
- Reflexão Central.

Na Reflexão Axial dada uma reta r e um ponto P, não pertencente à reta r, a imagem do ponto P, pela reflexão axial de eixo r, é o ponto P´ tal que a reta r é a mediatriz do segmento de reta que liga P e P´.

Quando falaste em simetrias provavelmente foi desta forma que foram abordadas.

Podemos construir o ponto simétrico, P´, utilizando-se de régua e compasso:

Com a ponta seca em qualquer ponto da reta e raio igual à distância entre o ponto escolhido e A, trace uma circunferência;

Repita o procedimento com outro ponto da reta;

As duas circunferências irão se encontrar em dois pontos. Um deles é A, o outro é o seu simétrico. Na reflexão, um ponto e a sua imagem estão à mesma distancia do eixo de reflexão.

Podemos ainda fazer a construção usando régua e esquadro:

Se reparares, a reflexão axial corresponde a uma imagem invertida da imagem original, em relação a um eixo, que é semelhante à aplicação de um espelho.

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_297_g_3_t_3.html?open=activities&from=topic_t_3.html

Na Reflexão Central, sendo o ponto O, o ponto médio entre A e A', A' é a imagem do ponto A pela reflexão central de centro O.

Para construíres a imagem de A deves identificar O como sendo o ponto médio. 1- Desenha uma semirreta que parte de A e passa em O.
2- Com um compasso, coloca a ponta seca em O e abertura até ponto A e desenha uma circunferência.
3- Interseta a circunferência com a semirreta.
4- O ponto de interseção é a imagem do ponto A, A'.

Numa translação todos os pontos da figura original deslocam-se segundo a mesma direção (vertical, horizontal ou diagonal), o mesmo sentido (esquerda ou direita, ou cima ou baixo) e percorrendo a mesma distância.

Numa rotação a figura inicial vai rodando em diferentes ângulos segundo um ponto central, o centro de rotação. Ou seja, a figura final é obtida através de uma figura inicial, onde é mantido fixo um ponto (o centro da rotação) e todos os outros sofrem deslocações ao longo de ângulos de uma certa amplitude e em torno do ponto fixo.
Pode ser positiva, quando se move ao contrário do sentido dos ponteiros do relógio, ou negativa, quando se move no mesmo sentido dos ponteiros dos relógios.
Nós encontramos no nosso dia-a-dia muitos exemplos, como quando vamos a uma feira, numa roda gigante, nós estamos em constante rotação sobre um eixo que nunca sai do sítio.

Podem ser encontradas, nos relógios ou nas bússolas e nos carros, no volante, no pára-brisas, na manivela que movimenta o vidro, no recostar dos bancos...

Como construir?

A Reflexão deslizante é uma composição de uma reflexão axial com uma translação por meio de um vector com a mesma direção da reta de reflexão.

Aqui a letra F para a um F ao contrário, pois foi alvo de duas isometrias: uma reflexão e depois uma translação. De seguida, fez-se uma translação dos dois F já encontrados.

1º O objeto sofreu uma reflexão pelo eixo r

2º O transformado/imagem sofreu uma translação pelo vetor HI.

3º O novo transformado e o objeto inicial sofrem agora uma nova translação pelo vetor KL.

Sobre as Simetrias de reflexão e de rotação vê os seguintes slides...

Simetrias: Axial e Rotacional from lisa54

Podemos ainda observar dentro desta temática os Frisos.
No dia-a-dia utilizamos com bastante frequência e sem dar conta a palavra “padrão”: padrão do tecido, padrão monetário, padrão de medidas, etc. Em matemática, esta palavra tem outro significado, que é, geralmente, confundido com pavimentação mas, são noções bastante diferentes. Uma pavimentação é um conjunto numerável de ladrilhos que cobrem o plano sem falhas nem sobreposições enquanto o padrão é uma repetição de uma figura inicial, a que denominamos motivo, segundo uma determinada ordem.