Critérios de divisibilidade
Nalgumas situações apenas
precisamos saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem
a necessidade de saber o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras
conhecidas como critérios de divisibilidade.
De seguida, encontras
regras de divisibilidade de 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31 e 49.
Precisas de uma
calculadora!!!
Um número será divisível
por 2 quando for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplo: O número
5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4.
Exemplo: 135 não
é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.
Um número será divisível
por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo: 18 é
divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3.
Exemplo: 576 é
divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3.
Exemplo: 134 não é
divisível por 3, pois: 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Um número será divisível
por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos for
divisível por 4.
Exemplo: 4312 é
divisível por 4, pois 12 é divisível por 4.
Exemplo: 1635 não
é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.
Um número será divisível
por 5 se o seu último algarismo for 0 (zero) ou 5.
Exemplo: 75 é
divisível por 5 pois termina com o algarismo 5.
Exemplo: 107 não
é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.
Um número é divisível por
6 quando for par e a soma de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo: 756 é divisível
por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3.
Exemplo: 527 não é
divisível por 6, pois não é par
Exemplo: 872 é par
mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é
divisível por 3.
Um número é divisível por
7 quando o dobro do último algarismo, subtraído do número que não contém
este último algarismo, proporcionar um número divisível por 7. Se o número
obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a
divisão por 7.
Exemplo: 165928 é
divisível por 7 pois:
16592
|
Número sem o último
algarismo
|
- 16
|
Dobro do último
algarismo
|
16576
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último número.
1657
|
Diferença sem o último
algarismo
|
- 12
|
Dobro do último algarismo
da Diferença
|
1645
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último número.
164
|
Diferença sem o último
algarismo
|
- 10
|
Dobro do último
algarismo da Diferença
|
154
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último número.
15
|
Diferença sem o último
algarismo
|
- 8
|
Dobro do último
algarismo da Diferença
|
7
|
Diferença
|
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
426
|
Número sem o último
algarismo
|
- 2
|
Dobro do último
algarismo
|
424
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último número.
42
|
Número sem o último
algarismo
|
- 8
|
Dobro do último
algarismo
|
34
|
Diferença
|
A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.
Um número é divisível por
8 quando o número formado pelos três últimos algarismos do número dado é
divisível por 8.
Exemplo: 45128 é
divisível por 8 pois 128 é divisível por 8.
128 ÷ 8 = 16
Exemplo: 45321 não
é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.
Um número é divisível por
9 quando a soma de seus algarismos forma um número divisível por 9.
Exemplo: 1935 é
divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9.
Exemplo: 5381 não é
divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.
Um número é divisível por
10 quando terminar com o algarismo 0 (zero).
Exemplo: 5420 é
divisível por 10 pois termina em 0 (zero).
Exemplo: 6342 não
termina em 0 (zero).
Um número é divisível por
11 quando a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos
algarismos de ordem ímpar Si for um número divisível por 11. Com
um caso particular, se Sp-Si=0ou se Si-Sp=0 então o número é
divisível por 11.
Exemplo: 1353 é
divisível por 11, pois:
Número
|
1
|
3
|
5
|
3
|
Ordem
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
par
|
O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.
Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:
Número
|
2
|
9
|
4
|
5
|
8
|
Ordem
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.
Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
Número
|
2
|
5
|
4
|
3
|
Ordem
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
par
|
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8, e como as somas Si e Sp são diferentes o número 2543 não é divisível por 11
Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:
Número
|
6
|
5
|
2
|
0
|
8
|
Ordem
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
par
|
ímpar
|
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5, e, como a diferença entre as somas Si e Sp é 11, o número 65208 é divisível por 11
Um número é divisível por
13 quando o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número que
não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 13.
Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa
verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a
divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de
subtração.
Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
1656
|
Número sem o último
algarismo
|
+8
|
Quádruplo do último
algarismo
|
1664
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
166
|
Soma sem o último
algarismo
|
+16
|
Quádruplo do último
algarismo da Soma
|
182
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
18
|
Soma sem o último
algarismo
|
+8
|
Quádruplo do último
algarismo da Soma
|
26
|
Soma
|
Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.
Um número é divisível por
17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que
não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17.
Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa
verificar a divisão por 17.
Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:
1859
|
Número sem o último
algarismo
|
-40
|
Quíntuplo do último
algarismo
|
1819
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último número.
181
|
Diferença sem o último
algarismo
|
-45
|
Quíntuplo do último
algarismo da Diferença
|
136
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último número.
13
|
Diferença sem o último
algarismo
|
-30
|
Quíntuplo do último
algarismo da Diferença
|
-17
|
Diferença
|
A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.
Um número é divisível por
19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este
último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número
obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a
divisão por 19.
Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.
16592
|
Número sem o último
algarismo
|
+ 16
|
Dobro do último
algarismo
|
16608
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
1660
|
Soma sem o último
algarismo
|
+ 16
|
Dobro do último
algarismo da Soma
|
1676
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
167
|
Soma sem o último
algarismo
|
+12
|
Dobro do último
algarismo da Soma
|
179
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
17
|
Soma sem o último
algarismo
|
+18
|
Dobro do último
algarismo da Soma
|
35
|
Soma
|
Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.
Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:
427
|
Número sem o último
algarismo
|
+10
|
Dobro do último
algarismo
|
437
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
43
|
Número sem o último
algarismo
|
+14
|
Dobro do último
algarismo
|
57
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
5
|
Número sem o último
algarismo
|
+14
|
Dobro do último
algarismo
|
19
|
Soma
|
Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.
Um número é divisível por
23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não
contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o
número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar
a divisão por 23.
Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.
18590
|
Número sem o último
algarismo
|
+63
|
Héptuplo do último
algarismo
|
18653
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
1865
|
Soma sem o último
algarismo
|
+21
|
Héptuplo do último
algarismo da Soma
|
1886
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
188
|
Soma sem o último
algarismo
|
+42
|
Héptuplo do último
algarismo da Soma
|
230
|
Soma
|
Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.
Um número é divisível por
29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que
não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29.
Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa
verificar a divisão por 29.
Exemplo: 8598 é divisível por 29?
859
|
Número sem o último
algarismo
|
-24
|
Triplo do último
algarismo
|
835
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último número.
83
|
Diferença sem o último
algarismo
|
-15
|
Triplo do último
algarismo da Diferença
|
68
|
Diferença
|
Repete-se o processo com este último número.
6
|
Diferença sem o último
algarismo
|
-24
|
Triplo do último
algarismo da Diferença
|
-18
|
Diferença
|
A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.
Um número é divisível por
31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não
contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o
número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar
a divisão por 31.
Exemplo: 8598 é divisível por 31?
859
|
Número sem o último
algarismo
|
+24
|
Triplo do último
algarismo
|
883
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
88
|
Soma sem o último
algarismo
|
+9
|
Triplo do último
algarismo da Soma
|
97
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
9
|
Soma sem o último
algarismo
|
+21
|
Triplo do último
algarismo da Soma
|
30
|
Soma
|
A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.
Um número é divisível por
49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que
não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49.
Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa
verificar a divisão por 49.
Exemplo: 8598 é divisível por 49?
859
|
Número sem o último
algarismo
|
+40
|
Quíntuplo do último
algarismo
|
899
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
89
|
Soma sem o último
algarismo
|
+45
|
Quíntuplo do último
algarismo da Soma
|
134
|
Soma
|
Repete-se o processo com este último número.
13
|
Soma sem o último
algarismo
|
+20
|
Quíntuplo do último
algarismo da Soma
|
33
|
Soma
|
A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.
Ficha de Trabalho critérios... by Joaquim Silva Pinto on Scribd
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