Máximo divisor comum

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3 e 6. De entre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos

m.d.c. (12,18) = 6. (lê-se: o máximo divisor comum entre doze e dezoito é o número seis)

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
 
Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3
CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;

2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Por exemplo: o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
 
36 = 2 x 2 x 3 x 3

90 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns; m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3

Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:

36 = 22 x 32

90 = 2 x 32 x5

Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;

48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;

30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)
 
3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.
Exemplos:

Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.

Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

De entre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois.

Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5

Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.

Exercícios:

1) Determina o m.d.c. de:
a) (9, 12) = (R: 3)
b) (8, 20) = (R:4)
c) (10, 15) = (R: 5)
d) (9, 12) = (R: 3)
e) (48, 18) = (R: 6)