Números primos e compostos

Números Primos e números compostos

Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.

Exemplos de números primos:

· a) 2 é um número primo, pois D(2) = {1, 2} (lê-se: divisores de dois são o um e o 2)

· b) 3 é um número primo, pois D(3) = {1, 3}

· c) 5 é um número primo, pois D(5) = {1, 5}

· d) 7 é um número primo, pois D(7) = {1, 7)

· e) 11 é um número primo, pois D(11) = {1, 11}

O conjunto dos números primos é infinito.

P = {2, 3, 5, 7, 11,…}

Exemplos de números que não são primos:

· a) 4 não é um número primo, pois D(4) = {1, 2, 4}
· b) 6 não é um número primo, pois D(6) = {1, 2, 3, 6}
· c) 8 não é um número primo, pois D(8) = {1, 2, 4, 8}
· d) 9 não é um número primo, pois D(9) = {1, 3, 9}
· e) 10 não é um número primo, pois D(10) = {1, 2, 5, 10}

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.

Sabias que;

· O número 2 é o único número par que é primo.

· O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.

O Crivo de Eratóstenes é um algoritmo e um método simples e prático para encontrar números primos até um certo valor limite. Segundo a tradição, foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C.), o terceiro bibliotecário-chefe da biblioteca de Alexandria.
 
Para exemplificá-lo, vamos determinar a lista de números entre 1 e 30.
Cria uma lista de todos os números inteiros de 2 até o valor limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, e 30.

Encontre o primeiro número da lista. Ele é um número primo, 2.

Remova da lista todos os múltiplos do número primo encontrado, o 2, a azul na figura abaixo). No nosso exemplo, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 e 29.

O próximo número da lista é primo. Repita o procedimento. No caso, o próximo número da lista é 3. Removendo seus múltiplos (a verde), a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 e 29. O próximo número, 5, ( a vermelho) também é primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. 7 é o último número a ser verificado (a amarelo). Assim, a lista encontrada contém somente números primos.




EXERCÍCIOS

1 – Determina os divisores dos números abaixo e diz quais são primos e quais são compostos:

12,       13,       14,       15,       16,       17,       18,       19,       20

2 – Qual é o menor número primo?

3 – Quais são os dez primeiros números primos?

4 – Classifica como verdadeiro ou falso:

· a) Todos os números primos são ímpares.

· b) Existem números que são primos e compostos.

Correção dos exercícios:

1- 

D12={1, 2, 3, 4, 6, 12}

D13={1,13}

D14={1, 2, 7, 14}

D15={1, 5, 15}

D16={1, 2, 4, 8, 16}

D17={1, 17}

D18={1, 2, 9, 18}

D19={1, 19}

D20={1, 2, 4, 5, 10, 20}

Primos são os números que apenas têm dois divisores, o 1 e ele próprio. Logo são os números 13, 17 e 19. Todos os restantes números são compostos (podem dividir-se por outros números sem ser apenas por 1 e por ele próprio).

2- Não existe maior número primo uma vez que os números são infinitos.

3- São 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

4- a) Falso. O 27 é um número composto pois pode dividir-se por 1, 3, 9 e 27.

b) Os números ou são primos ou compostos. O 1 é um número que nem é uma coisa nem outra.

Reconhecimento de um número primo

Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…, até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo.

Exemplos:

O número 43 é primo?

· 43 dividido por 2 é igual a 21 e resto 1

· 43 dividido por 3 é igual a 14 e resto 1

· 43 dividido por 5 é igual a 8 e resto 3

· 43 dividido por 7 é igual a 6 e resto 1

Observa que;

· Nenhuma dessas divisões é exata.

· O quociente 6 é menor que o divisor 7.

· Logo 43 é um número primo.

Podemos usar ainda os critérios da divisibilidade que podes ver aqui.

Números primos e compostos

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Decomposição em fatores primos

Para pensar….

Existem números cujo produto é igual a 24. Tenta descobri-los!

Deves ter obtido o seguinte:
 
24= 1 x 24

24= 2 x 12

24= 3 x 8

24= 4 x 6

24= 2 x 3 x 4

24= 2 x 2 x 6

24= 2 x 2 x 2 x 3

Diz-se que o 24, no último caso, está decomposto num produto de fatores primos.

A um produto de fatores iguais chama-se potência.

2 x 2 x 2 = 2³


3 – expoente
2 – base

Todo o número natural, maior que um, ou é primo ou pode ser decomposto num produto de factores primos. Este é o Teorema Fundamental da Aritmética.

Para decompor um número num produto de factores primos podes usar os seguintes processos:

Divisões sucessivas:
 
- divides o número dado pelo seu menor divisor primo. Colocas esse número primo do lado direito e do esquerdo o resultado da divisão.



Em árvore:

- Escrever o número como produto de outros dois.

- Continuar a escrever cada número como produto de outros dois até encontrar só números primos.

 

In Mat 7 – 7º ano, Elza Gouveia Durão e Maria Margarida Baldaque, Texto Editora

Clica no seguinte site para aprenderes como se faz a decomposição em fatores primos de uma outra forma.

http://www.hypatiamat.com/decomp_n_primos.php

O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos.





http://www.pam.lusopt.info/_7_8_9_mat/numeros/divisibilidade/1decomposicao.htm

http://www.pam.lusopt.info/_7_8_9_mat/numeros/divisibilidade/2decomposicao.htm

Curiosidade:
O matemático Christian Goldbach (1690-1764) formulou a seguinte conjetura:"Todo o número ímpar superior ou igual a 7 é soma de três números primos".

Decomposição em fatores primos - II from Prof. Materaldo