Ajuda alunos: Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade

Nalgumas situações apenas precisamos saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de saber o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade.

De seguida, encontras regras de divisibilidade de 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.

Precisas de uma calculadora!!!

Divisibilidade por 2

Um número será divisível por 2 quando for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplo: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4.

Exemplo: 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3

Um número será divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3.

Exemplo: 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3.

Exemplo: 134 não é divisível por 3, pois: 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número será divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4.

Exemplo: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4.

Exemplo: 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número será divisível por 5 se o seu último algarismo for 0 (zero) ou 5.

Exemplo: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5.

Exemplo: 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando for par e a soma de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3.

Exemplo: 527 não é divisível por 6, pois não é par

Exemplo: 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 quando o dobro do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592	Número sem o último algarismo
- 16	Dobro do último algarismo
16576	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657	Diferença sem o último algarismo
- 12	Dobro do último algarismo da Diferença
1645	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164	Diferença sem o último algarismo
- 10	Dobro do último algarismo da Diferença
154	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15	Diferença sem o último algarismo
- 8	Dobro do último algarismo da Diferença
7	Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426	Número sem o último algarismo
- 2	Dobro do último algarismo
424	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

42	Número sem o último algarismo
- 8	Dobro do último algarismo
34	Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos do número dado é divisível por 8.

Exemplo: 45128 é divisível por 8 pois 128 é divisível por 8.

128 ÷ 8 = 16

Exemplo: 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos forma um número divisível por 9.

Exemplo: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9.

Exemplo: 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando terminar com o algarismo 0 (zero).

Exemplo: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero).

Exemplo: 6342 não termina em 0 (zero).

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si for um número divisível por 11. Com um caso particular, se Sp-Si=0ou se Si-Sp=0 então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

Número	1	3	5	3
Ordem	ímpar	par	ímpar	par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

Número	2	9	4	5	8
Ordem	ímpar	par	ímpar	par	ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número	2	5	4	3
Ordem	ímpar	par	ímpar	par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8, e como as somas Si e Sp são diferentes o número 2543 não é divisível por 11

Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

Número	6	5	2	0	8
Ordem	ímpar	par	ímpar	par	ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5, e, como a diferença entre as somas Si e Sp é 11, o número 65208 é divisível por 11

Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 quando o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

1656	Número sem o último algarismo
+8	Quádruplo do último algarismo
1664	Soma

Repete-se o processo com este último número.

166	Soma sem o último algarismo
+16	Quádruplo do último algarismo da Soma
182	Soma

Repete-se o processo com este último número.

18	Soma sem o último algarismo
+8	Quádruplo do último algarismo da Soma
26	Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

1859	Número sem o último algarismo
-40	Quíntuplo do último algarismo
1819	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

181	Diferença sem o último algarismo
-45	Quíntuplo do último algarismo da Diferença
136	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

13	Diferença sem o último algarismo
-30	Quíntuplo do último algarismo da Diferença
-17	Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

16592	Número sem o último algarismo
+ 16	Dobro do último algarismo
16608	Soma

Repete-se o processo com este último número.

1660	Soma sem o último algarismo
+ 16	Dobro do último algarismo da Soma
1676	Soma

Repete-se o processo com este último número.

167	Soma sem o último algarismo
+12	Dobro do último algarismo da Soma
179	Soma

Repete-se o processo com este último número.

17	Soma sem o último algarismo
+18	Dobro do último algarismo da Soma
35	Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

427	Número sem o último algarismo
+10	Dobro do último algarismo
437	Soma

Repete-se o processo com este último número.

43	Número sem o último algarismo
+14	Dobro do último algarismo
57	Soma

Repete-se o processo com este último número.

5	Número sem o último algarismo
+14	Dobro do último algarismo
19	Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

18590	Número sem o último algarismo
+63	Héptuplo do último algarismo
18653	Soma

Repete-se o processo com este último número.

1865	Soma sem o último algarismo
+21	Héptuplo do último algarismo da Soma
1886	Soma

Repete-se o processo com este último número.

188	Soma sem o último algarismo
+42	Héptuplo do último algarismo da Soma
230	Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Exemplo: 8598 é divisível por 29?

859	Número sem o último algarismo
-24	Triplo do último algarismo
835	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

83	Diferença sem o último algarismo
-15	Triplo do último algarismo da Diferença
68	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

6	Diferença sem o último algarismo
-24	Triplo do último algarismo da Diferença
-18	Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?

859	Número sem o último algarismo
+24	Triplo do último algarismo
883	Soma

Repete-se o processo com este último número.

88	Soma sem o último algarismo
+9	Triplo do último algarismo da Soma
97	Soma

Repete-se o processo com este último número.

9	Soma sem o último algarismo
+21	Triplo do último algarismo da Soma
30	Soma

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Divisibilidade por 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?