sábado, 7 de Julho de 2012

Números primos e compostos


Números Primos e números compostos


Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.

Exemplos de números primos:
·         a) 2 é um número primo, pois D(2) = {1, 2} (lê-se: divisores de dois são o um e o 2)
·         b) 3 é um número primo, pois D(3) = {1, 3}
·         c) 5 é um número primo, pois D(5) = {1, 5}
·         d) 7 é um número primo, pois D(7) = {1, 7)
·         e) 11 é um número primo, pois D(11) = {1, 11}
O conjunto dos números primos é infinito.

P = {2, 3, 5, 7, 11,…}

Exemplos de números que não são primos:
·         a) 4 não é um número primo, pois D(4) = {1, 2, 4}
·         b) 6 não é um número primo, pois D(6) = {1, 2, 3, 6}
·         c) 8 não é um número primo, pois D(8) = {1, 2, 4, 8}
·         d) 9 não é um número primo, pois D(9) = {1, 3, 9}
·         e) 10 não é um número primo, pois D(10) = {1, 2, 5, 10}

Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.

Saibias que;
·         O número 2 é o único número par que é primo.
·         O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.

Crivo de Eratóstenes é um algoritmo e um método simples e prático para encontrar números primos até um certo valor limite. Segundo a tradição, foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C.), o terceiro bibliotecário-chefe da biblioteca de Alexandria.


Para exemplificá-lo, vamos determinar a lista de números entre 1 e 30.
  • Cria uma lista de todos os números inteiros de 2 até o valor limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, e 30.

  • Encontre o primeiro número da lista. Ele é um número primo, 2.

  • Remova da lista todos os múltiplos do número primo encontrado, o 2, a azul na figura abaixo). No nosso exemplo, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 e 29.

  • O próximo número da lista é primo. Repita o procedimento. No caso, o próximo número da lista é 3. Removendo seus múltiplos (a verde), a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 e 29. O próximo número, 5, ( a vermelho) também é primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. 7 é o último número a ser verificado (a amarelo). Assim, a lista encontrada contém somente números primos.




EXERCÍCIOS
1 – Determina os divisores dos números abaixo e diz quais são primos e quais são compostos:
12       13       14       15       16       17       18       19       20

2 – Qual é o menor número primo?

3 – Quantos e quais são os números primos?

4 – Quais são os dez primeiros números primos?

5 – Classifica como verdadeiro ou falso:
·         a) Todos os números primos são ímpares.
·         b) Existem números que são primos e compostos.

Faz o exercício online (espanhol) - http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_158_g_4_t_1.html?open=instructions

Reconhecimento de um número primo

Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…, até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo.

Exemplos:
O número 43 é primo?
·         43 dividido por 2 é igual a 21 e resta 1
·         43 dividido por 3 é igual a 14 e resta 1
·         43 dividido por 5 é igual a 8 e resta 3
·         43 dividido por 7 é igual a 6 e resta 1

Observa que;
·         Nenhuma dessas divisões é exata.
·         O quociente 6 é menor que o divisor 7.
·         Logo 43 é um número primo.


EXERCÍCIOS
1 – Utiliza o reconhecimento visto anteriormente e verifique se os números abaixo são primos.
31       97       91       45       36       73


Números primos e compostos
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Decomposição em fatores primos


Para pensar….

Existem números cujo produto é igual a 24. Tenta descobri-los!

Deves ter obtido o seguinte:

24= 1 x 24
24= 2 x 12
24= 3 x 8
24= 4 x 6
24= 2 x 3 x 4
24= 2 x 2 x 6
24= 2 x 2 x 2 x 3

Diz-se que o 24, no último caso, está decomposto num produto de factores primos.

A um produto de fatores iguais chama-se potência.

2 x 2 x 2 = 23

3 – expoente
2 – base

Todo o número natural, maior que um, ou é primo ou pode ser decomposto num produto de factores primos. Este é o Teorema Fundamental da Aritmética.

Para decompor um número num produto de factores primos podes usar os seguintes processos:

Divisões sucessivas:

- divides o número dado pelo seu menor divisor primo. Colocas esse número primo do lado direito e do esquerdo o resultado da divisão.




Em árvore:

- Escrever o número como produto de outros dois.
- Continuar a escrever cada número como produto de outros dois até encontrar só números primos.



In Mat 7 – 7º ano, Elza Gouveia Durão e Maria Margarida Baldaque, Texto Editora

Clica no seguinte site para aprenderes como se faz a decomposição em fatores primos de uma outra forma.
http://www.hypatiamat.com/decomp_n_primos.php

Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos.





http://www.rpedu.pintoricardo.com/Actividades_interactivas/dec_num_primos.php

Curiosidade:

O matemático Christian Goldbach (1690-1764) formulou a seguinte conjectura:
   "Todo o número ímpar superior ou igual a 7 é soma de três números primos

Vê a animação e verifica que Goldbach tinha razão: http://nautilus.fis.uc.pt/mn/goldbach/index.html

14 comentários:

  1. fixe
    mas onde esta os numeros compostos?

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    1. Caro anónimo se não viu é porque leu o que escrevi com pouca atenção...

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  2. CadÊ os numeros compostos??

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  3. gostaria de saber se o numero 24 e 31 é numero primo ou composto

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  4. gostaria de saber se o numero 24 e 31 é composto ou primo

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  5. Li várias vezes e não achei os números compostos!

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  6. adorei so que minha filha nao entendeu entao fasa isso um pouco mais fasio tipo do 5 ano

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  7. Olá , neu nome é Barbara e estou na quinta-serie , meu professor de mátematica esta esplicando isso para gente , so que no dia eu FALTEI , ele esta mostrando numeros PRIMOS e COMPOSTOS , tenho muita dificuldade , será que esse exemplo pode estar mais esclarecido !

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  8. Números compostos são números que têm mais de dois divisores. Ou seja, são múltiplos de mais do que dois números, além do 1 e dele próprio.
    Por exemplo: o 24 é um número par, pois termina em 4, logo é um número composto, pois é múltiplo ("encontra-se nas tabuadas de") de 1, 2, 24, etc... Estes números são os divisores do 24 ("são as tabuadas onde ele se encontra"). Como tem mais de dois divisores é um número composto.
    O número 31 é um número primo. Não o podes observar em mais nenhuma tabuada que não na do 1 e a do 31! Como só tem estes dois divisores, o 1 e o 31, é primo.

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    1. eu acho bem esclarecido porque agora sei que o numero primo tem só dois divisores e o composto tem mais quando vir isto espero que seja abençoada

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  9. interessante me ajudou muito no estudo da prova!!!
    bjss da sammy

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