domingo, 30 de outubro de 2011

Proporcionalidade, escalas e percentagens

Imagina que estás a cozinhar. Tens uma receita para fazer para 4 pessoas, mas tens um problema, pois convidaste 7 pessoas. Assim tens que fazer um bolo para 8 pessoas.
Como podes fazê-lo?



Se tens uma chávena de farinha vais necessitar do dobro, ou seja duas, pois 8 (pessoas) é o dobro de 4 (pessoas)!




Na receita precisas de litro e meio de leite, logo passas a necessitar do dobro, ou seja, 3 litros de leite!






E assim sucessivamente…


Se reparares basta multiplicar por dois, ou fazeres o dobro de, para cada uma das quantidades.


E se a receita fosse para seis pessoas???


Tens que ver que relação há entre 6 e 4. Para obter o seis deves multiplicar o 4 por um e meio.


Logo para obter cada um dos ingredientes deves multiplicar por 1,5 cada uma das quantidades.


Elaboramos uma grelha com os cálculos que fizemos para o leite, para um bolo para 4 pessoas, 6 pessoas, 8 pessoas e 12 pessoas.


Número de pessoas
4 - 1 litro
6 - 1,5 litros
8 - 2 litros
12 - 3 litros


Se dividires
4 : 1 = 4;               
6 : 1,5 = 4;                   
8 : 2 =  4;                      
12 : 3 = 4


Obténs sempre o mesmo valor.


Duas grandezas são diretamente proporcionais quando é constante (é o mesmo) o quociente entre cada valor de uma grandeza e o correspondente valor da outra grandeza.


Ao quociente constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.


No caso anterior a constante de proporcionalidade é 4.


Quando efetuaste aquelas divisões, podias tê-las transformado em frações.




      


Cada uma dessas frações designa-se por razão. Ver o exemplo mais abaixo.




Os números presentes numa razão/quociente chamam-se termos. No primeiro caso o 4 é o antecedente e o 1 é o consequente. No segundo caso, o antecedente é o 8 e o consequente é o 2.


Podes escrever assim:





Diz-se que 4 está para 1 assim como 8 está para 2.


A esta igualdade chamamos proporção entre duas razões ou quocientes.


Cada um dos números ali presentes tem uma designação.


O 4 é o 1º termo, o 1 é o 2º termo, o 8 é o 3º termo e o 2 é o 4º termo.





ex.


Os números que estão a vermelho chamam-se meios e os que estão a verdes chamam-se extremos.


http://www.rpedu.pintoricardo.com/Fichas_interactivas/Razao_proporcao/razao_proporcao.htm

Se observares bem consegues perceber que se multiplicares os extremos dá-te 8 e se multiplicares os meios também te dá 8.


4 x 2 = 8 x 1 = 8


Esta é a propriedade fundamental das proporções que te diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.


Será que quando comparas a idade e o peso de uma pessoa são grandezas directamente proporcionais?


Verifica o quadro seguinte:


Idade:     Peso
1 anos - 10 kg
2 anos - 12 kg
3 anos - 14,5 kg
4 anos - 16 kg


Verificando se a constante e a mesma...
1 : 10 = 0,1
2 : 12 = 0,17
3 : 14,5 = 0,20
4 : 16 = 0,25


Como os quocientes são diferentes então não existe proporcionalidade entre as duas grandezas, a idade e o peso.


Vamos utilizar a propriedade fundamental das proporções para resolver o problema seguinte.


O João foi à loja dos animais comprar peixes.




Quando lá chegou viu uma tabela:


Número de peixes    Custo (euros)
            2                           4
            8                          16
            5                          10


Para verificar se há proporcionalidade directa basta efectuar os quocientes/razões. Verificas que:




Há uma constante de proporcionalidade que é 0,5.


Se o João quiser comprar 4 peixes quanto vai ter que gastar?






O x é o valor que queres saber!


Como o podes descobrir?




Recorda a propriedade fundamental das proporções…


4 x 4 = 2 x X 

16 = 2 x X

X = 16 : 2 = 8 euros

Assim multiplicas 4 pelo 4 e depois divides o resultado por 2!!! A esta regra chama-se regra de três simples!!

  euros (custam 4 peixes)
 


Já ouviste falar em percentagem (%), na TV, na escola, nos jornais, revistas, etc…


Mas sabes o que isto representa?


Quando tens as notas dos testes, normalmente são dadas em percentagem.


Se tiveres 65% num teste será que tens positiva ou negativa??


Isto quer dizer que se tivesses o teste todo certo terias 100%. Logo tiveste 65 pontos em 100 pontos. Tiveste mais de metade, certo?






Tiveste nota positiva!!


E se tivesses… 40%? Aí já terias menos de metade de 100, logo era uma nota negativa.


Assim percentagem é uma razão onde o consequente/denominador é sempre o 100. (É qualquer coisa em 100)


a) Na tua escola há 18% de alunos que se inscreveram no clube da rádio. Sabendo que os alunos são 450, quantos foram os alunos inscritos?






O total de alunos, 450, equivale aos 100.




Já sabes como resolver este problema:




Podes fazê-lo de outra forma:


18% de 450… 0,18 x 450 = 81 alunos

b) Num saco tens smarties, 3 vermelhos, 4 amarelos e 5 verdes. Qual é a percentagem de smarties amarelos?

Tens de indicar a fração de smarties amarelos e transformar a fração em numeral decimal.



Se transformar depois o numeral decimal numa fração decimal, cujo denominador é o 100, o numerador corresponde à percentagem que queremos obter.



33%

c) A turma da Joana recebeu os teste de Ciências. A professora disse aos alunos que as questões do teste tinham a mesma cotação. Sabendo que a Joana teve 12 questões corretas, em 22 questões calcula o valor da percentagem que obteve no teste.

Podes resolver a questão de duas formas:

1- 


2-




d) Nos gráficos também podes observar percentagens.


Consegues dizer quantos familiares têm Peugeot?

Metade das pessoas escolheu esse carro. Se são 600 alunos, quer dizer que metade são 300 familiares.

E quantos têm Opel?

25% de 600                            0,25 x 600 = 150 pessoas

http://www.rpedu.pintoricardo.com/Fichas_interactivas/quiz_ex3.html

Na disciplina de História e Geografia de Portugal já viste muitos mapas. Em cada um deles há uma escala. A escala é uma razão entre a dimensão do desenho e a dimensão real do que está desenhado.




Junto à figura está indicada a escala usada


1: 12000000 ou 1/12000000


Quer dizer que 1 cm no mapa corresponde a 12.000.000 cm na realidade.


Quando a escala é maior que 1 temos uma imagem ampliada.


Quando a escala é menor que 1 temos uma imagem reduzida.


Exercícios:


- http://www.ajudaalunos.com/matematica/fichas/fichapropor1.pdf
- http://www.ajudaalunos.com/matematica/fichas/fichaproporcionalidade.pdf
- http://sites.google.com/site/mariaodetecosta/Proporcionalidade.htm
- http://www.ajudaalunos.com/Quiz1/proporcidirectaestatis5.htm
- http://matematica6.no.sapo.pt/Ficha_trabalho_Proporcionalidade.htm
- http://matematica6.no.sapo.pt/Escalas_Revisao.htm
- http://www.ajudaalunos.com/Quiz_mat/proporc_html/indice_propor_cao.htm
- http://www.ajudaalunos.com/Quiz_mat/percent_html/indice_percent.htm
http://aesap.edu.pt/moodle/mod/hotpot/view.php?id=434


Apresentações:


http://www.slideshare.net/raquelrico/razes-e-propores



http://www.slideshare.net/tetsu/regrade3simples



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