Números Primos e números compostos
Os números que possuem apenas dois divisores (ele próprio e 1) são chamados números primos.
Exemplos de números primos:
· a) 2 é um número primo, pois D(2) = {1, 2} (lê-se: divisores de dois são o um e o 2)
· b) 3 é um número primo, pois D(3) = {1, 3}
· c) 5 é um número primo, pois D(5) = {1, 5}
· d) 7 é um número primo, pois D(7) = {1, 7)
· e) 11 é um número primo, pois D(11) = {1, 11}
O conjunto dos números primos é infinito.
P = {2, 3, 5, 7, 11,…}
Exemplos de números que não são primos:
· a) 4 não é um número primo, pois D(4) = {1, 2, 4}
· b) 6 não é um número primo, pois D(6) = {1, 2, 3, 6}
· c) 8 não é um número primo, pois D(8) = {1, 2, 4, 8}
· d) 9 não é um número primo, pois D(9) = {1, 3, 9}
· e) 10 não é um número primo, pois D(10) = {1, 2, 5, 10}
Esses últimos exemplos são chamados de números compostos, pois possuem mais de dois divisores.
Sabias que;
· O número 2 é o único número par que é primo.
· O número 1 não é primo nem composto pois possui apenas 1 divisor.
O Crivo de Eratóstenes é um algoritmo e um método simples e prático para encontrar números primos até um certo valor limite. Segundo a tradição, foi criado pelo matemático grego Eratóstenes (c. 285-194 a.C.), o terceiro bibliotecário-chefe da biblioteca de Alexandria.
Para exemplificá-lo, vamos determinar a lista de números entre 1 e 30.
Cria uma lista de todos os números inteiros de 2 até o valor limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, e 30.
Encontre o primeiro número da lista. Ele é um número primo, 2.
Remova da lista todos os múltiplos do número primo encontrado, o 2, a azul na figura abaixo). No nosso exemplo, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 e 29.
O próximo número da lista é primo. Repita o procedimento. No caso, o próximo número da lista é 3. Removendo seus múltiplos (a verde), a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 e 29. O próximo número, 5, ( a vermelho) também é primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. 7 é o último número a ser verificado (a amarelo). Assim, a lista encontrada contém somente números primos.
EXERCÍCIOS
1 – Determina os divisores dos números abaixo e diz quais são primos e quais são compostos:
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
2 – Qual é o menor número primo?
3 – Quais são os dez primeiros números primos?
4 – Classifica como verdadeiro ou falso:
· a) Todos os números primos são ímpares.
· b) Existem números que são primos e compostos.
Correção dos exercícios:
1-
D12={1, 2, 3, 4, 6, 12}
D13={1,13}
D14={1, 2, 7, 14}
D15={1, 5, 15}
D16={1, 2, 4, 8, 16}
D17={1, 17}
D18={1, 2, 9, 18}
D19={1, 19}
D20={1, 2, 4, 5, 10, 20}
Primos são os números que apenas têm dois divisores, o 1 e ele próprio. Logo são os números 13, 17 e 19. Todos os restantes números são compostos (podem dividir-se por outros números sem ser apenas por 1 e por ele próprio).
2- Não existe maior número primo uma vez que os números são infinitos.
3- São 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
4- a) Falso. O 27 é um número composto pois pode dividir-se por 1, 3, 9 e 27.
b) Os números ou são primos ou compostos. O 1 é um número que nem é uma coisa nem outra.
Reconhecimento de um número primo
Para reconhecer se um número é primo, dividimos o número dado, sucessivamente, pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,…, até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. Se isso acontecer e a divisão não for exata, dizemos que o número é primo.
Exemplos:
O número 43 é primo?
· 43 dividido por 2 é igual a 21 e resto 1
· 43 dividido por 3 é igual a 14 e resto 1
· 43 dividido por 5 é igual a 8 e resto 3
· 43 dividido por 7 é igual a 6 e resto 1
Observa que;
· Nenhuma dessas divisões é exata.
· O quociente 6 é menor que o divisor 7.
· Logo 43 é um número primo.
